Belajar Bersama Bu Guru: August 2024

Elemen : Analisis Data dan Peluang

Capaian Pembelajaran:

Memahami variabel diskrit acak dan fungsi peluang, dan menggunakannya dalam memodelkan data. Mereka dapat menginterpretasi parameter distribusi data secara statistik (seragam, binomial dan normal), menghitung nilai harapan distribusi binomial dan normal, dan menggunakannya dalam penyelesaian masalah.

Tujuan Pembelajaran:

Peserta didik dapat memahami variable diskrit acak dan fungsi peluang
Peserta didik dapat menggunakan variable diskrit acak dan fungsi peluang dalam memodelkan data
Peserta didik dapat menginterpretasi parameter distribusi data secara statistic (seragam, binomial dan normal)
Peserta didik dapat menghitung nilai harapan distribusi binomial dan normal
Peserta didik dapat menggunakan nilai harapan distribusi binomial dan normal dalam menyelesaikan masalah

Materi

Variabel acak adalah fungsi yang memetakan ruang sampel ke himpunan bilangan real

Hasil pemetaannya, peubah acak ini bisa dibedakan menjadi dua.

Diskrit: memetakan ke himpunan bilangan diskrit
Kontinu: memetakan ke himpunan bilangan real berupa interval

Kita ambil contoh dari hasil pemetaan diskrit, yuk!

Misalnya, nih, kalau kita melakukan percobaan melempar koin satu kali, bakal muncul di antara dua kemungkinan, yaitu angka (A) dan gambar (G).

S = {A, G}

Kita tentukan dulu, nih, peubah acaknya apa, misalnya angka (A).

X = banyak muncul angka

Oleh karena itu, A → 1 dan G → 0, sehingga X = {0,1}.

Distribusi Peluang Diskrit

Sebaran peluang (distribusi peluang) adalah fungsi yang memetakan peubah acak ke peluang yang berkorespondensi dengannya.

f : X → P

Berdasarkan peubah acaknya, distribusi peluang dibedakan menjadi dua.

Diskrit (probability mass function)
Kontinu (probability density function)

Oke, sekarang kita ambil contoh distribusi peluang diskrit, pada kejadian melempar koin dua kali. Begini ruang sampelnya.

S = {AA, AG, GA, GG}

Sekarang kita definisikan peubah acaknya.

X = Banyaknya muncul angka

X = {0, 1, 2}

Nah, bisa langsung kita masukin ke tabel, nih!

Contoh Soal Distribusi Peluang Diskrit dan Peubah Acak

Andi melakukan percobaan melempar 3 koin. Jika X = banyak muncul gambar, maka peubah acak dari percobaan tersebut adalah ….

a. X = {0}

b. X = {0,1}

c. X = {0,1, 2}

d. X = {0, 1, 2, 3}

e. X = {0, 1, 2, 3, 4}

2. Pada percobaan pelemparan dua buah koin dengan mata koin berupa angka (A) dan gambar (G). Diketahui X merupakan peubah acak munculnya angka pada kedua koin. Jika x adalah nilai pada peubah acak X, maka kejadian untuk x = 2 adalah ….

a. AG saja

b. GA saja

c. AG dan GA

d. AA saja

e. GG saja

3. Iyo melakukan percobaan melempar sebuah dadu. Diketahui peubah acak X menyatakan munculnya bilangan genap. Jika x adalah nilai pada peubah acak X, maka peluang kejadian saat x = 0 adalah ….

a. 0

b. ½

c. ⅓

d. ¼

e. ⅙

Pembahasan:

Percobaan melempar 3 koin yang dilakukan Andi menghasilkan beberapa kemungkinan kejadian pada ruang sampel S yaitu:

S= {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

Jika peubah acak X = banyak muncul gambar, maka kejadian yang mungkin:

Muncul 0 gambar: {AAA}
Muncul 1 gambar: {AAG, AGA, GAA}
Muncul 2 gambar: {AGG, GAG, GGA}
Muncul 3 gambar: {GGG}

Oleh karena itu, nilai peubah acak X = {0, 1, 2, 3}.

Pada percobaan pelemparan dua buah koin dengan mata koin berupa angka (A) dan gambar (G).

Ruang sampel dari percobaan tersebut S = {AA, AG, GA, GG}.

Diketahui X merupakan peubah acak munculnya angka pada kedua koin.

Muncul 0 angka: {GG}
Muncul 1 angka: {AG, GA}
Muncul 2 angka: {AA}

Oleh karena itu, X = {0, 1, 2}

Jika x adalah nilai pada peubah acak X, maka kejadian untuk x = 2 adalah kejadian muncul 2 angka pada dua buah koin yaitu AA.

3. Iyo melakukan percobaan melempar sebuah dadu. Ruang sampel kejadian pada percobaan tersebut S={1,2,3,4,5,6} dengan total 6 kemungkinan kejadian.

Peubah acak X menyatakan munculnya bilangan genap.

Muncul 0 bilangan genap: {1,3,5}

Muncul 1 bilangan genap: {2,4,6}

Maka, peubah acak X={0,1}.

Jika x adalah nilai pada peubah acak X, maka peluang kejadian saat x =0 adalah perbandingan banyaknya kejadian muncul 0 bilangan genap dengan banyaknya seluruh kejadian.

Oleh karena itu, peluang kejadian saat x = 0 adalah ½

Source: https://www.zenius.net/blog/distribusi-peluang-diskrit

Fungsi Distribusi Seragam

Perhatikan kembali Eksplorasi 5.1. Jika koin yang seimbang dilempar, setiap elemen dalam ruang yaitu S = {angka,gambar} mempunyai peluang yang sama untuk muncul yaitu 1 2 . Oleh karena itu kita memiliki distribusi seragam dengan f(x;2) = 1 2 untuk x = 1,2. Dari semua distribusi peluang, yang paling sederhana adalah distribusi seragam karena dalam distribusi ini, setiap nilai variabel acak memiliki peluang kejadian terjadi yang sama

Contoh Soal 5.1 Pada pertandingan sepak bola, wasit meminta kapten tim untuk memilih sisi pada sebuah koin. Tim A memilih sisi gambar dan tim B memilih sisi angka, kemudian wasit melemparkan koin. Jika x menyatakan tim pertama yang mendapatkan bola dari sebuah pelemparan koin, tentukan distribusi peluang x! Alternatif Penyelesaian: Setiap elemen pada ruang sampel sebuah koin S = {A,G} memiliki peluang yang sama untuk muncul yaitu 1 2 . Jadi distribusi seragamnya adalah f(x;2) = 1 2 = 1,2. untuk x Contoh Soal 5.2 Sebuah dadu seimbang dilemparkan. Jika x menyatakan mata dadu yang muncul, tentukan distribusi peluang x

Latihan Soal Terbimbing 5.1 Misalkan, seorang dari 10 karyawan dipilih secara acak untuk mengawasi suatu proyek. Jika x adalah peluang terpilihnya satu karyawan secara acak. Tentukan distribusi peluang x!

Alternatif Penyelesaian:

Jumlah karyawan adalah ........… orang, yang akan dipilih ..........… orang secara acak. Karena masing-masing karyawan memiliki peluang yang sama untuk muncul adalah ..........…, maka distribusi seragamnya adalah f(x; ... ) = ...

Latihan soal terbimbing 5.2

untuk x = 1, 2, ... , Tim bulu tangkis dari 4 orang pemain yaitu A, B, C, dan D. Jika dari tim tersebut dipilih 2 orang secara acak untuk bermain, tentukan distribusi seragamnya! Alternatif Penyelesaian: Jumlah dalam satu tim adalah .......... orang, yang akan dipilih .......... orang secara acak. Maka banyaknya kombinasi yang mungkin adalah ... ... ( ) = ... , sehingga yang dapat didaftarkan sebagai AB, ... , ... , ... , ... , dan ... Karena masing-masing memiliki peluang terpilih yang sama, maka distribusi seragamnya adalah f(x; ... ) = 1 / ...

Latihan Soal 5.1 untuk x = ... , ... , ... , ... , ... , ...

1. Dalam satu tahun terdiri dari 12 bulan. Tentukan peluang dipilihnya 3 bulan dalam satu tahun secara acak!

2. Satu set kartu bridge berisi 52 kartu. Tentukan peluang terambilnya satu kartu pada pengambilan satu lembar kartu bridge secara acak!

3. Sebuah kotak berisi 6 buah bola lampu yang terdiri dari 5 watt, 8 watt, 11 watt, 14 watt, 18 watt, dan 23 watt. Tentukan peluang terambilnya sebuah lampu dari kotak tersebut!

4. Suatu kotak berisi 12 bola yang diberi nomor 1 sampai 12 yang akan diambil secara acak. Tentukan peluang terambilnya sebuah bola dari dalam kotak!

5. Toko Roti “Enak” akan menentukan warna untuk kemasan yaitu merah, hijau, kuning, biru, ungu, putih, hitam, dan coklat. Tentukan peluang terpilihnya satu warna untuk dijadikan kemasan toko tersebut!

Distribusi Binomial

Cobalah kalian lemparkan mata uang logam tersebut sebanyak dua kali dan isikan hasilnya pada Tabel 5.1 dan 5.2

Mari jawab pertanyaan berikut: 1. Tentukan peluang munculnya gambar pada dua kali pelemparan! 2. Dikatakan berhasil jika kejadian tersebut adalah muncul dua gambar pada dua kali pelemparan, sebutkan kejadian kegagalannya? 3. Berapa peluang kegagalannya? 4. Berapakah nilai harapan untuk memperoleh gambar pada satu kali pelemparan? 5. Berapakah nilai harapan untuk memperoleh keduanya gambar pada dua kali pelemparan? 6. Apa simpulan yang kalian dapatkan

1. Fungsi Distribusi Binomial Perhatikan kembali kegiatan Eksplorasi 5.2 yang telah kalian lakukan. Pada kegiatan tersebut kalian mengenal istilah berhasil dan gagal, dikatakan berhasil apabila muncul dua gambar pada dua kali pelemparan. Percobaan-percobaan pada distribusi binomial bersifat bebas, dimana kita dapat memilih atau menentukan salah satu kejadian sebagai berhasil dan peluang keberhasilan pada setiap pengulangan tetap sama.